天天快消息！库伦定理 库仑定律所有公式

在学习物理知识时，对一些物理概念和规律的理解要结合物理学史来讲解理论的来龙去脉，让学习者得到一个动态的、主动的学习过程，消除物理知识的神秘性，增强思维的灵活性。通过学习物理学史，我们可以知道物理学家的成败，也可以增强我们对物理学的兴趣和“认真推动物理学”的信心。

本文以库仑定律为例，结合物理学史，将库仑简化为真正的科学家，使库仑不再只是一个电的单位，库仑定律也不再只是一个干巴巴的物理公式。今年适逢库仑诞辰280周年(1736-1806)，逝世210周年。本文简要回顾了库仑定律的发现过程，希望对读者有所启发。

(资料图片)

科学家对电的早期研究

人类对电现象的认识经历了漫长而曲折的道路。商代时期，甲骨文中出现了“雷”和“电”的形声字。然而，直到16世纪，人们才对电的现象有了更深刻的认识。英国伊丽莎白一世女王的内科医生w吉尔伯特(1544-1603)首先提出了“电吸引”的概念，系统地研究了静电现象。600年，吉尔伯特发现有些物质相互摩擦后可以吸引光线和小物体。他称这种力量为“琥珀力量”。后来，科学术语“电”是根据希腊单词“琥珀”的词根制定的。

18世纪，牛顿创立经典力学理论后，运动三定律和万有引力定律奠定了物理科学发展的基础，统一了天地运动，完成了对自然规律的第一次理论总结。18世纪中叶，人们坚信万有引力定律的正确性，并将其外推到电和磁的研究中。18世纪后期，随着实验条件的不断改善，科学家们开始了电荷相互作用的实验研究。

1733年，法国科学家杜菲(C. du Fay，1698-1739)根据大量的实验事实大胆地得出结论，自然界存在不同种类的电荷。一个叫“琥珀电”；一种叫“玻璃电”。1747年，美国科学家富兰克林(B. Franklin，1706-1790)将丝绸摩擦玻璃带的电称为“正电”，将毛皮摩擦琥珀带的电称为“负电”，从而提出了正负电的概念。

1759年，德国科学家艾皮努斯(1724-1802)提出了一个假说，电荷之间的排斥力和吸引力随着带电体之间距离的减小而增大。然而，伊皮努斯并没有用实验来检验这个假设。1760年，d .伯努利(1700-1782)想知道电是否会像重力一样遵守平方反比定律。他的想法在当时具有代表性。

1755年，富兰克林观察到电荷只分布在导体表面，而导体内部没有静电效应。他向英国科学家j普里斯特利(1733-1804)讲述了这一现象，并建议普里斯特利重复实验来证明这一点。从牛顿的万有引力理论出发，普里斯特利曾将电荷的作用力与万有引力进行比较，推测电荷的作用力也符合平方反比定律。但这一结果并未得到实验验证，因此一直停留在猜测阶段，最终被搁置。顺带一提，在科学研究的过程中，科学家之间的交流与合作，可以集合众人的智慧，形成优势互补，往往能激发出宝贵的创造火花，进而发展成为重大的科研成果，推动科学进步。科学史上有很多这样的历史经验可以借鉴。

在科学史上，有两位英国科学家对电做过定量的实验研究，并得到了明确的结论。可惜他们没有及时发表研究成果，没有对科学的发展起到应有的推动作用。一个是J罗宾逊(1739-1805)，另一个是H卡文迪什(1731-1810)。罗宾逊设计了一个杠杆装置，得出电力服从平方反比定律，指数偏差=0.06的结论。他还认为

1772年至1773年，卡文迪什进行了双层同心球实验(图1)，精确测量电功率与距离的关系。根据卡文迪什的分析，由于带电金属球壳内部的任何一点都不带电，如果将球壳切成两半，将电荷放入空腔中，电荷将不受力的影响，这说明球壳两部分电荷对P点电荷的静电力相互抵消。卡文迪什证明，只有当静电力与距离的平方成反比时，这两种力才会相互抵消。他由此得到的功率服从平方反比定律，他用下面的形式表示功率。卡文迪许的同心球实验比库仑的扭转平衡实验早了11年。卡文迪什用的是当年最原始的电子测量仪器。由于设计巧妙，取得了非常可靠的效果。

图1卡文迪许及其双同心球的照片

虽然卡文迪什是“所有有学问的人中最富有的，也是所有最富有的人中最有学问的”，但由于性格孤僻，他很少与人交往。直到卡文迪什去世，研究成果才得以发表。1879年，麦克斯韦整理了卡文迪许的研究成果，他的工作为世人所知。如果这一成果能及时发表，也许现在的库仑定律会改名。因此，为了推动科学进步，仅仅提出丰富的思想、进行新的实验、解释新的问题或创造新的方法是不够的。还需要有效及时地与他人交流创新成果，为共享知识的构建做出贡献。只有那些能够被其他科学家及时有效地认可和利用的研究成果才是有意义的。所以在做科研的时候，要谨慎假设，大胆求证，善于分享，及时发表科研成果，让科学造福人类。

库仑定律的建立

法国工程师、物理学家库仑对电学的研究做出了巨大贡献，被誉为“电磁学中的牛顿”。他出生在法国南部昂古莱姆的一个富裕家庭。1806年8月23日，库仑在巴黎去世，享年70岁。库伦正直贤惠。T.Young (1773-1829)称赞库仑的道德品质和他的数学研究一样优秀。纪念库仑的邮票中也有丰富的物理学史料(图2)。人们可以看到库仑的肖像，他的出生和死亡的日子。

图2邮票上的库仑

1773年，法国科学院公开要求通过悬赏改进航海罗盘中的磁针。四年后，库仑以《磁针最佳制造方法研究》一文获得一等奖。认为轴上的库仑磁针支撑不可避免会带来摩擦，建议用细毛或丝线悬挂磁针。在实验中，库仑发现丝线的扭转力与磁针旋转的角度成正比，这样静电力和磁力就可以用这个装置来测量，这就导致他发明了扭转秤。库仑捻线的发明，曾经受到纺车的启发。在乡下，他注意到纱线的断头，总是反方向卷曲。线拧得越紧，回的圈数就越多。他认为力可以根据纱线卷曲的程度来测量，然后用它来测量电荷之间的力。

1785年，库仑利用扭转平衡实验测量了两个电荷之间的力和它们之间的距离之间的关系。他总结道:“带有相同电荷类型的两个球之间的排斥力与球中心之间距离的平方成反比。”1785年，库仑在《电力定律》一文中详细介绍了实验装置、实验过程和实验结果。

库仑扭转天平(图3)由挂在细长线上的光杆和连接在光杆两端的两个平衡球组成。当球上没有力时，光棒处于一定的平衡状态。如果两个球中的一个带电，而另一个电荷相同的球同时放在它的附近，电力就会作用在球上，使可移动的球立即被排斥，杆就会绕悬挂点旋转，直到悬挂线的扭矩和电力平衡。由于悬丝很细，作用在球上的一个很小的力就能使杆明显偏离原来的位置，旋转的角度与力的大小成正比。两个带电体之间不同的距离很容易调整和测量。

图3轮库扭转秤组件

在库仑时代，既没有电荷单位，也没有物体所带电荷的量度。根据实验的需要，库仑利用对称性原理改变了金属球的电量。他首先给金属球B充电，假设它的电荷是Q；使其与不带电的金属球A接触(球A和球B完全相同)，即球A和球B的电量为1/2Q；如果一个不带电荷的相同球与B球接触并分离，B球每次重复接触时，其电量将减半，Q，1/2Q，1/4Q，1/8Q，...库仑使活动球和固定球携带相同量的相同电荷，并调节两个球之间的距离:

第一个实验:千分尺的指针指向O，两个球被一根针充电后，两个球之间的距离为36度。此时，悬丝的扭转角度为36度。

第二个实验:根据千分尺指针O，将吊线扭转126度后，两个球相互靠近，距离只有18度。此时悬丝的扭转角度为126度加18度，也就是144度。

第三个实验:将吊线扭转567度，两个球之间的距离为8.5度。此时悬丝的扭转角度为567度加8.5度，为575.5度。

通过分析上述实验数据，可以得出排斥力与距离的平方成反比的结论。然而，扭转平衡实验在不同电荷的实验中遇到了麻烦。因为钢丝扭转的恢复力矩只与角度的第一平方成正比，重力与距离的第二平方成反比，也就是说重力的变化比扭转快，不能保证扭转尺度的稳定性。如果两个带电球相距很远，误差很大；如果靠得很近，两个球会经常碰撞，因为扭秤非常灵活，在一定程度上会左右摇摆。由于两个球的吸引力，当球相互接触时，经常会发生电荷中和现象，这使得实验无法进行。

反复思考后，库仑从动力学实验中学到了解决办法。物体在地面上的重力与物体到地心距离的平方成反比，即:

当悬挂在地面上的物体绕悬挂点小幅度摆动时，振幅周期与离地心的距离成正比。根据T ∝ r，库仑假设如果不同电荷之间的引力也与它们之间距离的平方成反比，那么只要设计一个电摆(图4)，就可以进行实验。

库仑球带正电，圆金纸盘带负电。实验结束后，得到以下结果:

第一个实验:圆形金纸盘距离球中心9英寸，20秒内摆动15次。

第二个实验:圆形金纸盘距离球中心18英寸，在41秒内摆动15次。

图4库仑电摆

第三个实验:圆形金纸盘距离球中心24英寸，60秒内摆动15次。

距离比为3: 6: 8，振动周期比为20: 41: 60。如果满足平方反比定律，振动周期的比值应为20 ∶ 40 ∶ 54。第三次实验的结果与理论值相差近10%。库仑正确地解释了这种现象是由漏电引起的。这种泄漏取决于带电体的绝缘效率、带电体的大小、带电体上的电荷密度和空空气湿度。因为每分钟的功耗大概是四十分之一，整个实验大概需要四分钟才能完成。在四分钟的实验中，考虑到电的损耗，重力变小，所以测得的摆动时间比理论值长。

经过这次修正，两者的数值非常接近。库仑说:“不同电流体之间的作用力，就像相同电流体之间的相互作用一样，与距离的平方成反比。”利用类似单摆的库仑方法，确定了不同电荷之间的引力也与其距离的平方成反比，这不是由扭转和静电力的平衡得到的。

在修正了实验中的误差后，库仑通过实验揭示了电相互作用和磁相互作用的过程。需要指出的是，库仑只测量了距离平方的反比，并正式将静电力和静电力归纳到万有引力范畴。需要强调的是，库仑并没有具体验证静电力与电量的乘积，以及静磁力与磁荷的乘积是成正比的。后来，德国物理学家高斯(1777—1855)提出了直接从库仑定律定义电荷测量的思想。1839年，高斯发表了论文《引力或斥力与距离平方成反比的一般定理》，提出了静电高斯定理。

平方反比定律的验证

库仑定律是电学发展史上第一个定量定律，是电磁学和电磁场理论的基本定律之一，也是物理学的基本定律之一。因此，自库仑定律发现以来，科学家们一直没有停止验证公式中R的指数2。这是一个有待实验检验的问题。

1971年，美国科学家威廉等人利用高频高压信号、锁相放大器和光纤传输来保证实验条件。利用现代测试方法，将平方反比定律的指数偏差扩展了几个数量级，指数2的偏差小于10-16，因此完全可以假设指数为2。事实上，指数2与零光子静止质量mz密切相关，它们可以相互推导。这是因为现有的理论都是基于mz等于零的前提。如果mz不为零，即使这个值很小，也会动摇物理大厦的基石。比如真空出现弥散；光速可以改变；电荷不守恒等。

到目前为止，理论和实验表明点电荷力的平方反比定律是非常精确的。例如，著名的α粒子散射实验和地球物理实验表明，库仑定律在10-11米至107米的尺度范围内是可靠的。

库仑科学家在这一领域的后续研究工作主要是提高了指数n的准确性，虽然这些工作也很重要，但就重要性而言，很难与库仑的工作相比。所以我们称电平方反比定律为库仑定律，电量的单位以库仑命名。

两个灵感

首先是类比的应用。类比是科学研究中一种重要的思维方法，被誉为科学活动中的“伟大向导”。物理学史上许多重要的发现和发明往往源于类比。当进入新的科学问题时，类比推理可以通过联系新旧科学问题之间的相似性来帮助取得重大突破。通过梳理库仑定律的建立过程，可以看出类比法在物理研究中的重要性。将万有引力平方反比定律类比到电力新领域，使库仑定律从一开始就走上了正确的道路(没有走弯路)。总之，如果没有先找到万有引力定律，如果没有依靠类比法，仅仅依靠具体实验数据的积累和分析，我们仍然需要付出很大的努力，走很长的路，才能得到严格意义上的库仑定律的表达式。

不用说，类比也是一把双刃剑。类比推理虽然有创造性，但不可靠。伟大的德国哲学家黑格尔曾精辟地评论说，类比可能是肤浅的，也可能是深刻的。自然过程很不一样，一直在发展变化。况且人的认知能力是受时代限制的。因此，毫无疑问，有些类比往往具有暂时的过渡性质，它们无非是充当物理学发展中的“药物介绍”或“催化剂”。因为，确切地说，一些完全新的东西无法用熟悉的术语来解释。因此，物理学家在引入物理概念或借助类比建立新的物理定律后，不应局限于原来类比的“一亩三分地”，也不应把类比得出的所有推论都视为绝对正确。类比只是物理学家搭建物理大厦的脚手架。物理大楼一旦建成，脚手架就需要拆除。

第二，理论和实验相辅相成，如同汽车的两个轮子。物理学是一门自然科学，其研究始终着眼于探索物质世界及其运动的规律。物理学是一门以实验为基础的科学，物理学的概念、定律、公式都是以实验为基础的。库仑定律不仅是一个实验定律，也是电、磁万有引力定律的“推论”。如果说库仑定律是一个实验定律，那么库仑扭转平衡实验起着重要的作用。即便如此，库仑还是借鉴了牛顿的万有引力理论，模拟了万有引力的大小与两个物体质量之间的关系，并且“理所当然地”认为两个电荷之间的力也与两个电荷的电量成正比。没有这个前提，实验就无法进行，因为当时电量的测量还没有建立。

库仑等科学家根据实验数据无法确定平方反比关系，但略多于2。回顾库仑定律的发现过程，我们可以看到，如果科学家没有受到万有引力定律理论的启发，如果他们没有把实验结果中的平方修正项视为实验误差，然后删除，那么他们就不会这么快建立库仑定律。诺贝尔奖获得者李政道提出了“物理学家定律”，准确概括了理论与实验的关系:“没有实验者，理论家就会迷失方向；没有理论家，实验者会犹豫。”说白了，就是靠实验和理论的配合和相互鼓励，物理学才能建造出宏伟的建筑。

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